Πιθανότητες και στατιστική

Οι υπολογισμοί των πιθανοτήτων για διάφορα θέματα που αφορούν στα χαρτοπαίγνια είναι, πολλές φορές, λανθασμένοι. Για να γίνω πιο σαφής θα δώσω το εξής παράδειγμα με αφορμή σχετική κουβέντα μεταξύ των παικτών mitsos84 και ligatou:

Ερώτημα
Έχω αγοράσει και κρατάω στα χέρια μου 5 ατού. Ποια η πιθανότητα ένας από τους δύο αντιπάλους να κρατάει τα υπόλοιπα 3 ατού;


Λανθασμένη απάντηση
Τα τρία ατού που περισσεύουν μπορούν να κατανεμηθούν στους δύο αντιπάλους είτε (0, 3), είτε (1, 2), είτε (2, 1), είτε (3, 0). Μας βολεύουν οι 2 περιπτώσεις από τις 4, επομένως η πιθανότητα είναι 2:4=0.5, δηλαδή 50%.

Ακολουθώντας παρόμοια λογική μπορούμε να δώσουμε πολλές λανθασμένες απαντήσεις στο ερώτημα που μας ενδιαφέρει. Ας δούμε, όμως, τη σωστή απάντηση:

Απάντηση
Κρατώ στα χέρια μου 5 ατού και, φυσικά, στα φύλλα που έχω ξεσκαρτάρει δεν υπάρχει ατού, επομένως έχω 12 φύλλα (με 5 ατού μέσα σ' αυτά) και περισσεύουν 20 φύλλα για τους αντιπάλους. Θα θέσω το ερώτημα λίγο διαφορετικά: Επιλέγω τον έναν εκ των δυο αντιπάλων, π.χ. τον εξ αριστερών μου και αναρωτιέμαι: Ποια η πιθανότητα να κρατάει είτε 3 είτε κανένα ατού; Αν συμφωνείτε ότι αυτή είναι η πιθανότητα που αναζητούμε, διαβάστε παρακάτω, αλλιώς δεν έχω άλλο επιχείρημα να σας πείσω, παρά ότι για να έχει ένας εκ των δύο τα 3 ατού μαζεμένα, είτε θα τα έχει ο παίκτης που επιλέξαμε, είτε ο άλλος οπότε ο παίκτης που επιλέξαμε δεν θα έχει κανένα.

Συνεχίζω λοιπόν: Ο παίκτης που επιλέξαμε μπορεί να έχει 184.756 διαφορετικές, ισοπίθανες χαρτωσιές. Πράγματι, τόσοι είναι οι δυνατοί συνδυασμοί των υπόλοιπων 20 φύλλων ανά 10. Μέσα σ' αυτές τις χαρτωσιές εμπεριέχονται και αυτές που μας ενδιαφέρουν. Αυτές, είπαμε, είναι:

Χαρτωσιές με 3 ατού
Αυτές οι χαρτωσιές είναι σε πλήθος όσοι και οι συνδυασμοί των υπόλοιπων 17 φύλλων ανά 7, καθώς υποθέτουμε ότι τα 3 από τα φύλλα του είναι τα 3 ατού. Αυτές οι χαρτωσιές είναι, λοιπόν 19.448, τον αριθμό.

Χαρτωσιές χωρίς καθόλου ατού
Αυτές είναι σε πλήθος όσοι και οι συνδυασμοί των 17 φύλλων ανά 10, καθώς τα 3 ατού τα έχει ο άλλος παίκτης και μένουν 17 φύλλα. Αυτές οι χαρτωσιές, κατά διαβολική σύμπτωση, είναι πάλι 19.448 τον αριθμό.

Έχουμε, λοιπόν, 19.448+19.448=38.896 χαρτωσιές οι οποίες δίνουν στον παίκτη που επιλέξαμε είτε 3 ατού, είτε κανένα, επομένως δίνουν στον έναν από τους δύο αντιπάλους τα 3 ατού μαζεμένα. Επομένως, η πιθανότητα είναι 38.896:184.756=0.2106, δηλαδή περίπου 21% ή μια στις πέντε.

Ερώτημα
Έχω αγοράσει και κρατάω στα χέρια μου 6 ατού. Ποια η πιθανότητα ένας από τους δύο αντιπάλους να κρατάει τα υπόλοιπα 2 ατού;


Απάντηση
Ακολουθώντας την ίδια λογική με το προηγούμενο ερώτημα και εφόσον οι χαρτωσιές στις οποίες ο παίκτης που έχουμε επιλέξει έχει τα υπόλοιπα 2 ατού είναι όσοι και οι συνδυασμοί των 18 φύλλων ανά 8, ήτοι 43.758, έχουμε τα εξής:

Οι χαρτωσιές στις οποίες ο παίκτης μας δεν έχει κανένα ατού είναι πάλι 43.758. Πράγματι, αυτό που αναφέραμε στη απάντηση του προηγούμενου ερωτήματος ως «διαβολική σύμπτωση» δεν είναι στην πραγματικότητα σύμπτωση, αλλά απλή λογική, καθώς η πιθανότητα να μην έχει ο παίκτης μας κανένα ατού είναι ίδια με την πιθανότητα να έχει και τα 2 ατού, εφόσον σ' αυτή την περίπτωση τα 2 ατού που λείπουν τα κρατά ο άλλος παίκτης, επομένως οι χαρτωσιές είναι όσες ακριβώς και το να κρατά ο παίκτης μας και τα 2 ατού. Πράγματι, αν το δούμε και από τη σκοπιά που το είδαμε στην απάντηση του προηγούμενου ερωτήματος, οι χαρτωσιές που ο παίκτης μας δεν κρατάει κανένα ατού είναι όσες και οι συνδυασμοί των 18 φύλλων ανά 10, ήτοι 43.758!

Συνεπώς, οι χαρτωσιές που μας ενδιαφέρουν είναι 43.758+43.758=87.516, άρα η πιθανότητα να κρατά ένας από τους δύο αντιπάλους τα 2 ατού που μας λείπουν είναι: 87.516:184.756=0.4737, δηλαδή περίπου 47%, δηλαδή μια στις δύο.

Πειραματική επαλήθευση
Για την επαλήθευση των παραπάνω αποτελεσμάτων μελέτησα 106.000.000 τυχαίες διανομές, στις οποίες θεώρησα τα πρώτα 12 φύλλα ως φύλλα του τζογαδόρου. Βρέθηκαν τα εξής:

ΑτούΔιανομέςΜαζεμέναΠιθανότητα
4
2418412
209684
0.0867032
5
910184
191689
0.210605
6
176341
83523
0.473645


Βλέπουμε, λοιπόν, ότι τα πειραματικά δεδομένα επαληθεύουν πλήρως τους παραπάνω υπολογισμούς. Η περίπτωση των έξι ατού δίδεται ως άσκηση στους αναγνώστες.